양자역학을 기술하는 방법 중 하나는 디락의 브라켓을 이용하는 것이다.
디락은 선형대수적인 방법을 사용하여 양자 역학을 기술한다.
글의 이해를 위해서는 양자 역학보다는 선형대수를 살짝이라도 알아야 한다.
좀 지루한 내용이 되겠다.
다음 기술된 내용은 사쿠라이가 쓴 Modern Quantumn Mechanics 를 참조하였다.
#. 브라켓의 발견
처음 우리가 해야할 일은 브라와 켓에 대해서 조금 알아야 한다.
알기 쉽게 설명하자면 브라는 행벡터를 의마하고 캣은 열벡터이다.
브라 벡터는 <a| 라고 표기 되며 캣벡터는 |a> 라고 표기된다.
a 는 백터의 이름을 나타내는 notation일 뿐이다.
1xN 의 행렬이 있을 때에 선형대수에 의하면 이 행렬은 N 개의 basis(기저) 로 이루
어져 있으며, 이 때 N차원이 된다.
양자역학에서 하나의 상태는 이러한 캣벡터로 나타낼 수 있으며
그 차원은 무한대가 된다
또한 이러한 무한대의 차원을 가진 백터가 성립하는 공간을
힐버트 공간이라고 부른다.
용어가 영어라서 어렵게 생각되는 것 뿐 이미 우리가 모두 알고 있는 개념이다.
#켓 공간
그렇다면 브라켓의 연산은 어떨까?
같은 차원의 행렬끼리는 더하거나 뺄 수 있는 것처럼,
브라는 브라끼리 더할 수 있으며, 켓은 켓끼리 더할 수 있다
|a> + |b> = |c>
행렬에 복소수를 곱하는 것처럼 브라켓에는 복소수를 곱할 수 있다.
또한 행렬처럼 앞이든 뒤든 어디에 붙던지 상관하지 않는다.
c x |a> = c|a> = |a>c
내부의 값이 모두 0인 켓을 영켓이라고 부른다.
#브라 공간
이제 브라 공간에 대해서 살펴본다.
브라 공간은 캣 공간에 대한 dual correspondence 를 의미한다.
대략 말해 브라 공간은 켓 공간의 거울상이라고 할 수 있다.
amath
c|a> 에 대해 브라 공간은 c^(**) <a| 가 된다.
# 내적
브라와 켓은 행과 열처럼 곱할 수 있으며, 이를 내적이라고 부르며,
그 결과는 행렬의 곱처럼 스칼라가 된다.
<a|b> = c (단 c는 복소수)
다만 그 DC(dual correspondence) 는 켤레 복소수가 된다
<b|a> = c^(**)
endamath
**내적의 물리적 의미는 a 상태 에서 b의 상태로 바뀔 확률을 의미한다. **
내적의 절대값의 제곱은 바로 그 확률이 된다.
같은 종류의 켓끼리의 내적은 실수가 되며 언제나 0 보다 크거나 같다
amath
<a|a> >= 0
켓에 브라를 곱하는 경우는 스칼라가 아닌 NxN의 행렬이 된다.
이런 경우 외적이라고 부른다.
|a> x <b| = |a><b|
endamath
머릿속에 계속 행렬을 생각하라. (표기만 다를 뿐이다)
#고유켓
백터의 basis가 되는 켓들을 고유켓이라고 부른다.
따라서 어떠한 켓은 고유켓의 합으로 나타낼 수 있다.
amath
|a> = sum_(a ') C_(a ') | a'>
endamath
(고유 캣이 물리에서 바로 고유 상태가 된다)
따라서 두개의 고유켓의 내적은 0 이된다. 이를 직교성(Orthogonality) 라고 부른다.
<a'|a''> = 0
# 연산자
켓의 상태를 변화시키는 것을 연산자라고 부르며,
연산자의 형태는 NxN 의 행렬이 될 것이다.
다만 함수에서는 미분 연산자등을 생각하라.
연산자의 곱은, 행렬에서의 곱처럼 교환법칙이 성립하지 않는다.
XY != YX
연산자와 켓의 곱은 다시 켓이 된다.
(NxN 행렬에 1xN행렬을 곱한 경우를 생각해보라.)
A (|a>) = A |a>
# Hermitian adjoint
연산자의 dual correspondence 를 Hermitian adjoint라고 한다 .
행렬에서 전치 행렬을 생각해보라.
amath
행렬에서의 A^T 처럼 A^+ 이라고 쓰고 대거라고 부른다.
원래 대거의 의미처럼 +대신 단검을 그려야 하는데 수식 편집기가 지원하지 않아서..
X|a> <- D.C. -> <a|X^+
# Hermitian 연산자.
Hermitian adjoint 가 바로 자기 자신이 되는 것을 Hermitian 연산자라고 한다.
간단한 맛뵈기만 보았다. 좀 더 깊은 내용에 대해서는 설명할 기회가 있을 것이다.
